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Zinseszinsrechnung

Nach einem Jahr erhält man auf sein Guthaben Zinsen. Auf diese Zinsen erhält man nächstes Jahr wieder Zinsen, die Zinseszinsen.

$K_{neu}=K_0\cdot(1+\frac{p}{100})$
i

Tipp

Die Formel entspricht der bei prozentualer Änderung.

Jetzt kann man jedesmal das vorhergehende Ergebnis mit dem Wachstumsfaktor multiplizieren.

Beispiel

Lena hat 200€ auf ihrem Sparbuch mit einem Zinssatz von 5%. Wie viel Geld besitzt sie nach einem/zwei/drei Jahren?

  1. Nach einem Jahr

    $K_1=K_0\cdot(1+\frac{p}{100})$ $=200€\cdot(1+\frac{5}{100})$ $=200€\cdot\frac{105}{100}$ $=210€$

  2. Nach zwei Jahren

    $K_2=K_1\cdot(1+\frac{p}{100})$ $=210€\cdot(1+\frac{5}{100})$ $=210€\cdot\frac{105}{100}$ $=220,50€$

  3. Nach drei Jahren

    $K_3=K_2\cdot(1+\frac{p}{100})$ $=220,50€\cdot(1+\frac{5}{100})$ $=220,50€\cdot\frac{105}{100}$ $\approx231,53€$

Folgender Zusammenhang ist erkennbar:

$K_1=\color{blue}{K_0\cdot(1+\frac{p}{100})}$

$K_2=\color{blue}{K_1}\cdot(1+\frac{p}{100})$ $=\color{blue}{K_0\cdot(1+\frac{p}{100})}\cdot(1+\frac{p}{100})$ $=\color{green}{K_0\cdot(1+\frac{p}{100})^2}$

$K_3=\color{green}{K_2}\cdot(1+\frac{p}{100})$ $=\color{green}{K_0\cdot(1+\frac{p}{100})^2}\cdot(1+\frac{p}{100})$ $=K_0\cdot(1+\frac{p}{100})^3$


Zinseszinsformel

Damit man nicht immer alle vorhergehenden Werte berechnen muss, nutzt man die Zinseszinsformel.
Es handelt sich hierbei um prozentuales Wachstum.

$K_{n}=K_0\cdot(1+\frac{p}{100})^n$

Beispiel

Berechne das Geld von Lena nach 20 Jahren.

$K_{20}=K_0\cdot(1+\frac{p}{100})^{20}$ $=200€\cdot(1+\frac{5}{100})^{20}$ $=200€\cdot(\frac{105}{100})^{20}$ $\approx530,66€$