Построение эскиза семейства кривых

Даже с семейством кривых вы можете применять эскиз кривой.

Например

Рассмотрим $f_a(x)=x^2+ax$ ($a\in\mathbb{R}$) на следующие свойства:

• Нули
• Экстремум
• Точка перегиба

1. Найдите производную

   $f_a(x)=x^2+ax$
   $f_a'(x)=2x+a$
   $f_a''(x)=2$

2. Нули

   вычислите нули: приравняйте функцию к нулю
   $f_a(x)=0$
   $x^2+ax=0$
   $x(x+a)=0$
   $x_{N_1}=0$ и $x_{N_2}=-a$

3. Экстремум

   вычислите экстремумы: приравняйте первую производную к нулю
   $f_a'(x)=0$
   $2x+a=0\quad|-a$
   $2x=-a\quad|:2$
   $x_E=-\frac{a}2$
   
   используйте предполагаемые точки для экстремумов во втором тесте:
   $f_a''(-\frac{a}2)=2>0$ => минимум
   
   вычислите координату y и укажите минимум:
   $f_a(-\frac{a}2)$ $=(-\frac{a}2)^2+a\cdot(-\frac{a}2)$ $=\frac{a^2}4-\frac{a^2}2$ $=\frac{a^2}4-\frac{2a^2}4$ $=-\frac{a^2}4$
   
   $T(-\frac{a}2|-\frac{a^2}4)$

4. Точка перегиба

   вычислите точку перегиба: приравняйте вторую производную к нулю
   $f_a''(x)=0$
   $2=0$ => функция не имеет точек перегиба