Математика Комбинаторика Гипергеометрическое распределение (лотерейная модель)

Гипергеометрическое распределение

Гипергеометрическое распределение используется для определения вероятности наступления события, при методе без замены.

$P(X=k)=\frac{{M\choose k}{N-M\choose n-k}}{{N\choose n}}$
  • $N$ размер численности
  • $M$ это количество успешных исходов численности
  • $n$ это количество розыгрышей (т. е. количество розыгрышей в каждом испытании)
  • $k$ число наблюдаемых успехов

Лотерейная модель

Лотерейная модель может быть использована для объяснения гипергеометрического распределения.

i

Информация

Мы предполагаем лотерею "6 из 49". 6 шаров вытягиваются из 49 без их замены. Впрочем, порядок розыгрыша не важен.

Например

Насколько вероятны 4 правильных номера в лотерее?

  1. Общее количество комбинаций

    Количество возможных комбинаций можно определить с помощью биномиального коэффициента .

    ${49\choose 6}$ $=13,983,816$
  2. Количество благоприятных событий

    Теперь можно представить себе две группы: 6 выигрышных шаров и 43 проигрыша.

    Сначала вы определили возможность выбрать из 6 выигрышных шаров 4:
    ${6\choose 4}=15$

    Затем варианты выбора из 43 проигрышей 2:
    ${43\choose 2}=903$

    Умножение обоих вместе дает общее количество способов разыграть 4 выигрышных шара и 2 проигрышных, независимо от порядка:
    ${6\choose 4}\cdot{43\choose 2}$
  3. Определите вероятность

    Это эксперимент Лапласа . Эксперимент Лапласа :

    $P(X=4)=\frac{{6\choose 4}{43\choose 2}}{{49\choose 6}}$ $\approx0.001$

    Вы можете видеть , что это гипергеометрическое распределение с $n=6$, $k=4$, $M=6$ и $N=49$.