Die Grundgleichung der kinetischen Gastheorie

Die Grundgleichung der kinetischen Gastheorie verknüpft viele wichtige Größen miteinander, unter anderem Druck $p$, Volumen $V$, Teilchenanzahl $N$, Masse $m$ und Teilchengeschwindigkeit $v$.

Merke

$p\cdot V =\frac{1}{3}N\cdot m\cdot v^2$

Herleitung

Geht man von einem Würfel aus, in dem eine große Menge an Gasteilchen eingeschlossen sind, dann bewegen sich statistisch immer $\frac{1}{6}$ senkrecht auf eine Seite zu.

Die Teilchendichte ist $\frac{N}{V}$ und das Volumen ist $A\cdot s$. So ergibt sich die Teilchenmenge $\frac{1}{6}\frac{N}{V} \cdot A\cdot s$, die in Richtung einer Seite fliegen.

Die Teilchen die mit dem Impuls $p= m\cdot v$ auf die Seite treffen, haben nach dem elastischen Stoß den Impuls $p'= -m\cdot v$. Also eine Impulsänderung von $2\cdot m\cdot v$.

Die längste Zeit brauchen Teilchen, die von der gegenüberliegenden Platte losfliegen. Sie brauchen die Zeit $\Delta t = \frac{s}{v}$.

Demnach ist die Impulsänderung an der Platte A im Intervall $\Delta t$:

$\Delta p_A= \frac{1}{6}\frac{N}{V}\cdot A \cdot v\cdot \Delta t\cdot 2m\cdot v$

Die Kraft ist die Impulsänderung pro Zeitintervall. Also:

$F=\frac{\Delta p_A}{\Delta t}$

$F=\frac{\frac{1}{6}\frac{N}{V}\cdot A \cdot v \cdot \Delta t\cdot 2m\cdot v}{\Delta t}$

$= \frac{1}{6}\frac{N}{V}\cdot A \cdot 2m\cdot v^2$

Teilt man dann noch durch $A$ und multipliziert mit $V$ kommt man zu:

$\frac{F}{A}\cdot V = p\cdot V =\frac{1}{3}N\cdot m\cdot v^2$