Rekonstruktion von Beständen

Manchmal kennt man die Ableitung bzw. die Änderungsrate, jedoch nicht die Stammfunktion.

Man kann dann $f'$ integrieren und den Funktionswert zum Bestimmen der Integrationskonstanten $C$ nutzen.

Beispiel

Bestimme die Funktionsgleichung von $f$ mit der Änderungsrate $f'(x)=\frac12x$ und dem Wert $f(2)=-1$.

1. Integration

   $f'$ ist die Änderungsrate von $f$. Durch Integrieren (Aufleiten) erhalten wir also alle Stammfunktionen von f'. Unsere gesuchte Funktion ist genau eine dieser Stammfunktionen.

   $\int \frac12x\,\mathrm{d}x$ $=\frac14x^2\color{red}{+C}$

2. C berechnen

   Jetzt muss nur noch das C bestimmt werden, um unsere endgültige Funktion zu bekommen. Dazu nutzen wir die zweite Information, nämlich den Funktionswert.

   $f_C(x)=\frac14x^2\color{red}{+C}$

   $f(2)=-1$

   Der Funktionswert wird nun eingesetzt und die Gleichung nach C umgestellt.

   $-1=\frac14\cdot2^2+C$
   $-1=1+C\quad|-1$
   $C=-2$

3. Funktion angeben

   Das berechnete $C$ einsetzen und wir haben unsere gesuchte Funktion.

   $f(x)=\frac14x^2-2$

Anwendungen

Es gibt viele mögliche Beispiele und Anwendungen für Rekonstruktionsaufgaben. Hier ist eine Auflistung einiger.