Свойства синусов

Закон синусов применим к любому треугольнику, если даны

• oдна сторона и два угла
или
• две стороны и угол.

Во втором случае угол должен быть противоположным одной из двух данных сторон. В противном случае, нам потребуется закон косинусов.

В нашем треугольнике ABC, закон синусов гласит:

• $\frac{a}{b}=\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)}$


• $\frac{b}{c}=\frac{\sin(\beta)}{\sin(\gamma)}$


• $\frac{c}{a}=\frac{\sin(\gamma)}{\sin(\alpha)}$


• $\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}=\frac{c}{\sin(\gamma)}$

Пример

Дан треугольник с $a=7$, $c=4$ и $\gamma=30^\circ$. Вычислите угол $\alpha$.

1. Найдите необходимую формулу

   
   $\frac{a}{c}=\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\gamma)}$

2. Измените формулу

   
   $\frac{a}{c}=\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\gamma)}\quad|\cdot\sin(\gamma)$
   $\sin(\alpha)=\frac{a}{c}\cdot\sin(\gamma)$

3. Подставьте и вычислите

   
   $\sin(\alpha)=\frac{7}{4}\cdot\sin(30^\circ)$
   $\alpha=\sin^{-1}(\frac{7}{4}\cdot\sin(30^\circ))\approx61^\circ$