Математика Тригонометрия Свойства синусов

Свойства синусов

Закон синусов применим к любому треугольнику, если даны

  • oдна сторона и два угла
  • или
  • две стороны и угол.

Во втором случае угол должен быть противоположным одной из двух данных сторон. В противном случае, нам потребуется закон косинусов.

!

Запомни

В любом треугольнике две длины относятся друг к другу как противоположные значения синуса.

В нашем треугольнике ABC, закон синусов гласит:

  • $\frac{a}{b}=\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)}$

  • $\frac{b}{c}=\frac{\sin(\beta)}{\sin(\gamma)}$

  • $\frac{c}{a}=\frac{\sin(\gamma)}{\sin(\alpha)}$

  • $\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}=\frac{c}{\sin(\gamma)}$

Пример

Дан треугольник с $a=7$, $c=4$ и $\gamma=30^\circ$. Вычислите угол $\alpha$.


  1. Найдите необходимую формулу


    $\frac{a}{c}=\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\gamma)}$
  2. Измените формулу


    $\frac{a}{c}=\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\gamma)}\quad|\cdot\sin(\gamma)$
    $\sin(\alpha)=\frac{a}{c}\cdot\sin(\gamma)$
  3. Подставьте и вычислите


    $\sin(\alpha)=\frac{7}{4}\cdot\sin(30^\circ)$
    $\alpha=\sin^{-1}(\frac{7}{4}\cdot\sin(30^\circ))\approx61^\circ$