Математика ↠ Плоскости ↠ Декартово уравнение

Декартово уравнение плоскости

Плоскости также имеют третью форму представления, а именно декартово уравнение.

$\text{E: } ax+by+cz=d$

$a, b, c, d \in \mathbb{R}$

i

Подсказка

Уравнения координатных плоскостей $E_{xy}: z=0$, $E_{xz}: y=0$, $E_{yz}: x=0$ являются частными случаями декартова уравнения.

Векторное уравнение → декартово уравнение

Декартово уравнение получается путем умножения векторного уравнения на скалярное произведение.

Например

$\text{E: } \left(\vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}=0$

  1. Замените $\vec{x}$ и сложите

    $\text{E: }$ $\left(\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$ $=0$

    $\text{E: }$ $\begin{pmatrix} x-2 \\ y-1 \\ z-1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}=0$

  2. Скалярное произведение

    Используйте скалярное произведение двух векторов в левой части уравнения:

    $\begin{pmatrix} x-2 \\ y-1 \\ z-1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}=0$

    $(x-2)\cdot2 + (y-1)\cdot(-2) $ $+ (z-1)\cdot4$ $=0$

    $2x-4-2y+2+4z-4$ $=0$

    $2x-2y+4z-6=0 \,\, |+6$

    $2x-2y+4z=6$

  3. Декартово уравнение

    $\text{E: } 2x-2y+4z=6$

!

Запомните

С декартовой формой $\text{E: } ax+bx+cz=d$ нормальный вектор, всегда можно найти сразу:

$\vec{n}=\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$


Декартово уравнение → нормальное уравнение

Теперь нам нужен только случайный вектор положения, потому что нормальный вектор может быть найден.

$\text{E: } 2x-2y+4z=6$

Например

  1. Нормальный вектор

    Необходимый нормальный вектор может быть найден из коэффициентов.

    $\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$

  2. Вектор положения: найдите точку

    Особенно легко выбрать точку пересечения. Для этого всем координатам, кроме одной, присваивается значение 0.

    Вы можете сразу же увидеть, что $A(3|0|0)$ находится в плоскости:

    $2\cdot3-2\cdot0+4\cdot0=6$
    $6=6$

    $\vec{a}=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

  3. Вставьте

    $\text{E: } (\vec{x} - \vec{a}) \cdot \vec{n}=0$

    $\text{E: } \left(\vec{x} - \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$ $=0$


Декартово уравнение → параметрическое уравнение

Сначала вы ищете любые три точки на плоскости, а затем составляете параметрическое уравнение.

i

Метод

  1. Найдите три точки
  2. Составьте параметрическое уравнение

Параметрическое уравнение → декартово уравнение

Здесь вы должны сделать крюк через нормальное уравнение:

параметрическое уравнение → векторное уравнение → декартово уравнение