Mathe Gleichungen lösen Substitution

Substitution

Biquadratische Gleichungen sind spezielle Gleichungen 4. Grades der Form:

$ax^4+bx^2+c=0$

Biquadratische Gleichungen können mit Substitution $x^2=z$ in quadratische Gleichungen umgewandelt werden.

i

Tipp

Die nach der Substitution entstandene quadratische Gleichung kann man mit der PQ- oder Mitternachtsformel lösen.

Beispiel

Biquadratische Gleichung lösen: $x^4-3x^2+2=0$

  1. Substitution

    Die gegebene Gleichung wird substituiert, indem man $x^2$ durch $z$ ersetzt.
    $x^4-3x^2+2=0$

    $z=x^2$
    $z^2-3z+2=0$
  2. Quadratische Gleichung lösen

    Die neue quadratische Gleichung kann man nun lösen z. B. PQ-Formel.
    $z^2-3z+2=0$

    $z_{1,2} = \frac{p}{2} \pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$

    $z_{1,2} = \frac32 \pm\sqrt{(\frac32)^2-2}$
    $z_{1,2} = \frac32 \pm\sqrt{\frac14}$
    $z_{1,2} = \frac32 \pm\frac12$

    $z_1=2$ und $z_2=1$
  3. Rücksubstitution

    Nun kann man $x$ aus den Lösungen für $z$ berechnen.
    Dazu nehmen wir die ursprüngliche Gleichung und formen sie um:

    $x^2=z\quad|\pm\sqrt{}$
    $x=\pm\sqrt{z}$

    Beide z-Werte einsetzen.
    $x_{1,2}=\pm\sqrt{z_1}$
    $x_1=\sqrt{2}\approx1,41$
    $x_2=-\sqrt{2}\approx-1,41$

    $x_{3,4}=\pm\sqrt{z_2}$
    $x_3=\sqrt{1}=1$
    $x_4=-\sqrt{1}=-1$