Substitution

Biquadratische Gleichungen sind spezielle Gleichungen 4. Grades der Form:

Biquadratische Gleichungen können mit Substitution $x^2=z$ in quadratische Gleichungen umgewandelt werden.

Beispiel

Biquadratische Gleichung lösen: $x^4-3x^2+2=0$

1. Substitution

   Die gegebene Gleichung wird substituiert, indem man $x^2$ durch $z$ ersetzt.
   $x^4-3x^2+2=0$
   
   $z=x^2$
   $z^2-3z+2=0$

2. Quadratische Gleichung lösen

   Die neue quadratische Gleichung kann man nun lösen z. B. PQ-Formel.
   $z^2-3z+2=0$
   
   $z_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$
   
   $z_{1,2} = \frac32 \pm\sqrt{(\frac32)^2-2}$
   $z_{1,2} = \frac32 \pm\sqrt{\frac14}$
   $z_{1,2} = \frac32 \pm\frac12$
   
   $z_1=2$ und $z_2=1$

3. Rücksubstitution

   Nun kann man $x$ aus den Lösungen für $z$ berechnen.
   Dazu nehmen wir die ursprüngliche Gleichung und formen sie um:
   $x^2=z\quad|\pm\sqrt{}$
   $x=\pm\sqrt{z}$
   
   Beide z-Werte einsetzen.
   $x_{1,2}=\pm\sqrt{z_1}$
   $x_1=\sqrt{2}\approx1,41$
   $x_2=-\sqrt{2}\approx-1,41$
   
   $x_{3,4}=\pm\sqrt{z_2}$
   $x_3=\sqrt{1}=1$
   $x_4=-\sqrt{1}=-1$