Impulse in geschlossenen Systemen

Zuletzt gehen wir noch auf die vektorielle Funktion von Impulsen ein. Es ist durchaus möglich, dass ein Impuls aus einer anderen Richtung kommt, entweder entgegengesetzt oder in einem Winkel wirkt.

Da Impulse Vektoren sind, gilt:

Die Verrechnung von Vektoren wird hier genauer erklärt. Damit können auch komplexe Sachverhalte gelöst werden, bei denen mehrere Vektoren aus verschiedenen Richtungen eine Rolle spielen.

Beispiel

Ein Stein wird mit einem Sprengkörper gesprengt. Bei der Explosion fliegen 3 Steine in verschiedene Richtungen. Der erste Stein fliegt mit 2m/s weg und hat ein Gewicht von 2kg. Der zweite fliegt in einem 90° Winkel dazu, hat ein Gewicht von 3kg und fliegt mit 1m/s. Der dritte Stein hat ein Gewicht von 2,5 kg.
Mit welcher Geschwindigkeit und in welche Richtung fliegt er?

1. $p_1$ und $p_2$

   $p_1=m_1\cdot v_1$
   
   $p_1=2kg\cdot2\frac{m}s$ $=4kg\cdot\frac{m}s$
   
   $p_2=m_2\cdot v_2$
   
   $p_2=3kg\cdot1\frac{m}s$ $=3kg\cdot\frac{m}s$

2. Impuls $p_{1\wedge2}$ berechnen

   Durch den rechten Winkel zwischen den Impulsen gilt der Satz des Pythagoras:
   
   $(p_1)^2+(p_2)^2=(p_{1\wedge2})^2$
   
   $p_{1\wedge2}=\sqrt{(p_1)^2+(p_2)^2}$
   
   $p_{1\wedge2}=\sqrt{(4kg\frac{m}s)^2+(3kg\frac{m}s)^2}$ $=5kg\frac{m}s$

3. Geschwindigkeit des 3. Steins

   Um nun den Impuls auszugleichen, muss der Impuls $p_3$ genau entgegen dem Impuls $p_{1\wedge2}$ wirken. Daraus folgt:
   $p_3=5kg\cdot\frac{m}s$
   
   $p_3=m_3\cdot v_3\quad|:m_3$
   
   $v_3=\frac{p_3}{m_3}$
   
   $v_3=\frac{5kg\cdot\frac{m}s}{2,5kg}$ $=2\frac{m}s$

4. Winkel des 3. Steins

   Der Winkel, in dem der Stein fliegt, lässt sich mit dem Arkustangens berechnen.
   
   $\tan(\alpha)=\frac{p_2}{p_1}$
   
   $\alpha=\arctan(\frac{p_2}{p_1})$
   
   $\alpha=\arctan(\frac{3}{4})$ $\approx36,87°$