Binomialkoeffizient
Ohne Zurücklegen, Reihenfolge unwichtig
Aus einer Urne mit $n$ verschiedenen Kugeln werden nacheinander $k$ Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
Wenn die Reihenfolge nicht beachtet wird, ist die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten $N$:
$N=\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}$ $={n\choose k}$
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Info
$n!$ bezeichnet man als n-Fakultät und ist das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis n.
Beispiel: $5!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5$
Beispiel: $5!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5$
Den Term ${n\choose k}$, gelesen: „n über k“, bezeichnet man als Binomialkoeffizienten.
i
Info
Die meisten Taschenrechner besitzen eine eigene Taste für den Binomialkoeffizienten: die nCr-Taste.
Sonst muss man immer den Bruch mit den Fakultäten eingeben.
Sonst muss man immer den Bruch mit den Fakultäten eingeben.
Beispiel
Beim Lotto werden aus 49 Zahlen ohne Zurücklegen 6 Zahlen gezogen. Die Reihenfolge ist dabei egal.
Berechne die verschiedenen Möglichkeiten.
${49\choose 6}$ $=\frac{49!}{6!\cdot43!}$ $=13.983.816$
Nur eine von diesen Möglichkeiten gewinnt, die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt:
$\frac{1}{13.983.816}$ $\approx0,000000072$
Beispiel
8 Mannschaften nehmen an einem Fußballturnier teil. Wie viele Endspielpaarungen sind denkbar?
${8\choose 2}=28$