Mathe ↠ Lagebeziehungen von Geraden ↠ Schnittwinkel

Winkel zwischen zwei Geraden

Der Schnittwinkel zweier Geraden berechnet sich ähnlich wie der Winkel zwischen zwei Vektoren.

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Merke

Im Gegensatz zu Vektoren ist beim Schnittwinkel von Geraden immer der Winkel kleiner als 90° gemeint.

Gegeben sind zwei Geraden:

$\text{g: } \vec{x} = \vec{u} + r \cdot \vec{a}$

$\text{h: } \vec{x} = \vec{v} + s \cdot \vec{b}$

Zum Berechnen des Winkels nutzt man die beiden Richtungsvektoren der Geraden:

$\cos(\gamma) = \frac{|\vec{a}\cdot\vec{b}|}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}$

$\gamma = \cos^{-1}\left(\frac{|\vec{a}\cdot\vec{b}|}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}\right)$
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Vorgehensweise

  1. Skalarprodukt der Richtungsvektoren berechnen
  2. Beträge der Richtungsvektoren berechnen
  3. Ergebnisse in die Formel einsetzen

Beispiel

$\text{g: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 9 \\ 7 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 9 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix}$

$\text{h: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

  1. Skalarprodukt berechnen

    $\vec{a}\cdot\vec{b}$ $=\begin{pmatrix}9 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}$ $=9\cdot1+8\cdot1+7\cdot2$ $=31$

  2. Beträge der Richtungsvektoren berechnen

    $|\vec{a}|=\sqrt{9^2+8^2+7^2}$ $=\sqrt{194}$

    $|\vec{b}|=\sqrt{1^2+1^2+2^2}$ $=\sqrt{6}$

  3. Ergebnisse in die Formel einsetzen

    $\cos(\gamma) = \frac{|\vec{a}\cdot\vec{b}|}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}$

    $\cos(\gamma) = \frac{31}{\sqrt{194}\cdot\sqrt{6}}$

    $\gamma = \cos^{-1}\left(\frac{31}{\sqrt{194}\cdot\sqrt{6}}\right)$ $\approx24,68°$