Математика Процессы роста Экспоненциальный рост и спад

Экспоненциальный рост и спад

Экспоненциальный рост означает как экспоненциальное увеличение, так и экспоненциальный спад.

Применяется формула:

$N(t)=N_{0}\cdot a^t$
!

Запомни

Увеличение или падение могут дифференцироваться фактором роста $a$:
  • Если $a>1$, экспоненциальный рост.
  • Если $0<a<1$, экспоненциальный спад.

Экспоненциальный рост

При экспоненциальном росте, фактор роста всегда больше 1. Таким образом вы получаете больше, чем у вас было.

Примеры

  • $N(t)=2\cdot3^t$
  • $N(t)=50\cdot(\frac54)^t$

Экспоненциальный спад

При экспоненциальном спаде, фактор роста всегда меньше 1 (и больше 0). Линия роста таким образом падает по мере возрастания $t$.

Имея дробь, например $\frac1d$ в качестве фактора роста, мы можем рассматривать ее как деление.

Примеры

  • $N(t)=10\cdot(\frac13)^t$
  • $N(t)=\frac12\cdot(\frac78)^t$
  • $N(t)=3\cdot(0.25)^t$
i

Подсказка

Заметьте, что правило применяется только к положительным $t$. С другой стороны, отрицательные показатели можно переписать:

$N(t)=N_0\cdot b^{-t}$ $=N_0\cdot (\frac1b)^t$

В этом случае, мы применяем правило сверху для $a=\frac1b$.

Примеры

  • $N(t)=2^{-t}=(\frac12)^t$ ⇒экспоненциальный спад

  • $N(t)=(\frac13)^{-t}=3^t$ ⇒ экспоненциальный рост