Mathe Flächenberechnung mit Integralen Fläche zwischen Funktionsgraphen

Fläche zwischen Funktionsgraphen

Mithilfe des bestimmten Integrals lässt sich auch die Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen berechnen.

eingeschlossene Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

Gesucht ist der eingeschlossene Flächeninhalt von zwei Funktionen im Intervall $[a;b]$. Dazu subtrahiert man die kleinere von der größeren Fläche ($f(x) > g(x)$ im Intervall $[a;b]$):

$A=\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\,-$ $\int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x$

Jetzt kann noch die Summenregel rückwärts angewendet werden.
Damit die Formel auch gilt, wenn $f(x) < g(x)$ im Intervall $[a;b]$, setzt man noch Betragsstriche.

$A=|\int_a^b (f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x|$
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Tipp

Die Formel ist unabhängig von der Lage der Fläche bezüglich der x-Achse. Es ist also nicht wichtig, ob sich die Fläche über oder unter der x-Achse befindet.
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Vorgehensweise

  1. Differenzenfunktion bilden
  2. Bestimmtes Integral aufstellen und berechnen
  3. Flächeninhalt bestimmen

Beispiel

Berechne den Flächeninhalt zwischen den Graphen der Funktionen $f(x)=\frac12x^2+1$ und $g(x)=-\frac12x^2+x$ über dem Intervall $[0,5; 2]$

  1. Differenzenfunktion

    Zuerst wird $g(x)$ von $f(x)$ subtrahiert und zusammengefasst.
    $f(x)=\frac12x^2+1$
    $g(x)=-\frac12x^2+x$

    $h(x)=f(x)-g(x)$ $=(\frac12x^2+1)-$ $(-\frac12x^2+x)$ $=x^2-x+1$
  2. Bestimmtes Integral aufstellen

    Integrationsgrenzen und $h(x)$ in das bestimmte Integral einsetzen und Integral berechnen.
    $\int_a^b (f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x$ $=\int_a^b h(x)\,\mathrm{d}x$

    $\int_{0,5}^2 (x^2-x+1)\,\mathrm{d}x$
  3. Integral berechnen

    $\int_a^b h(x) \, \mathrm{d}x$ $= [H(x) + C]_a^b$ $= H(b) - H(a)$

    $H(x)=\frac13x^3-\frac12x^2+x$

    $\int_{0,5}^2 (x^2-x+1)\,\mathrm{d}x$ $=[\frac13x^3-\frac12x^2+x]_{0,5}^2$ $=(\frac13\cdot2^3-\frac12\cdot2^2+2)-$ $(\frac13\cdot0,5^3-\frac12\cdot0,5^2+0,5)$
    $=\frac83-\frac{5}{12}$ $=\frac94$
  4. Flächeninhalt bestimmen

    $A=\int_{0,5}^2 (x^2-x+1)\,\mathrm{d}x$ $=\frac94$ $=2,25$

Fläche zwischen zwei Graphen ohne Schnittpunkt, Fläche zwischen zwei Kurven mit Integral berechnen

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