Integration durch Substitution

Wie die Kettenregel beim Ableiten nutzt man beim Integrieren verketteter Funktionen die Integration durch Substitution.

Das Umformen des Differenzials erfolgt durch die Formel

Beispiel

$\int (3x+2)^3 \, \mathrm{d}x$

1. Substitution

   Wir legen $z$ fest und ersetzen damit den schwierigen Teil.

   $z=3x+2$

   $z$ dafür in die Funktion einsetzen.

   $\int (\color{red}{3x+2})^3 \, \mathrm{d}x$

   $\int \color{red}{z}^3 \, \mathrm{d}x$

2. Differenzial anpassen

   Das Differenzial ändern wir mit der Formel:

   $\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=z'$

   $z$ ableiten für $z'$

   $z'=(3x+2)'=3$

   Einsetzen

   $\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=3$

   Nach dx umstellen

   $\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}z}{3}$

3. Integrieren

   Das neue Differenzial in das Integral einsetzen.

   $\int z^3 \, \color{red}{\mathrm{d}x}$

   $\int z^3 \, \color{red}{\frac{\mathrm{d}z}{3}}$

   Das Integral umschreiben und mithilfe bekannter Integrationsregeln integrieren.

   $\int \frac13 z^3 \, \mathrm{d}z$ $=\frac1{12} z^4+C$

4. Resubstitution

   Nun ist man fast am Ziel. Das $z$ muss nur noch wieder ersetzt werden.

   $z=3x+2$

   $\frac1{12} \color{red}{z}^4+C$ $=\frac1{12}(\color{red}{3x+2})^4+C$

   Die Lösung ist also:

   $\int (3x+2)^3 \, \mathrm{d}x$ $=\frac1{12}(3x+2)^4+C$