Расстояние между непараллельными и непересекающимися прямыми

В отличие от расстояния между параллельными прямыми , расстояние между непараллельными и непересекающимися прямыми, можно проследить до самого начала нормальной формулы Гессе.

Даны две непересекающиеся и непараллельные прямые:

Мы вычисляем ортогональный нормальный вектор, из двух векторов направления..

Это нормализуется (единичный нормальный вектор) и вставляется в нормальную формулу Гессе, вместе с двумя опорными векторами $\vec{p}$ и $\vec{q}$. Затем получаем расстояние $d$ .

Например

Даны две непараллельные и непересекающиемя прямые

$\text{g: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\text{h: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}$

1. Вычислите нормальный вектор

   Вариант 1

   Поскольку оба вектора направления перпендикулярны нормальному вектору $\vec{n}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$, скалярное произведение должено равняться нулю.

   1. $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\cdot\color{blue}{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}} = 0$
   2. $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\cdot\color{blue}{\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}} = 0$

   Теперь можно вычислить скалярное произведение.

   1. $1x+1y=0$
   2. $1x+5y+2z= 0$

   II.-I.

   $4y+2z=0$

   Выберите любое значение $z$ , например $z=4$

   $4y+8=0\quad|-8$
   $4y=-8\quad|:4$
   $y=-2$

   Вычислите $x$ с I. (вставьте $y$)

   $x+y=0$
   $x-2=0\quad|+2$
   $x=2$

   $\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$

   Вариант 2

   В варианте 2, вместо этого формируется только поперечное произведение двух векторов.

   $\vec{n}$ $=\color{blue}{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}} \times \color{blue}{\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}}$ $=\begin{pmatrix} 1\cdot2 - 0\cdot5 \\ 0\cdot1 - 1\cdot2 \\ 1\cdot5 - 1\cdot1 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$

2. Единичный нормальный вектор

   Нормальный вектор нормализуется путем деления на величину вектора.

   $\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$

   $|\vec{n}|=\sqrt{2^2+(-2)^2+4^2}$ $=\sqrt{24}$

   $\vec{n_0}= \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$ $=\begin{pmatrix} 2/\sqrt{24} \\ -2/\sqrt{24} \\ 4/\sqrt{24} \end{pmatrix}$

3. Вставьте точки

   $d=$ $\left|\left(\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0\end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 2/\sqrt{24} \\ -2/\sqrt{24} \\ 4/\sqrt{24} \end{pmatrix} \right|$ $=\left|\begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2/\sqrt{24} \\ -2/\sqrt{24} \\ 4/\sqrt{24} \end{pmatrix} \right|$ $\approx3.67$