Скалярное произведение

Произведение двух векторов называют скалярным произведением. Ответом является не вектор, а число (скалярная величина).

$\vec{a}\cdot\vec{b}$ $=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}$ $=a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3$

Геометрическое значение:

$\vec{a}\cdot\vec{b}$ $=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}| \cdot\cos(\gamma)$

Запомни

Два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны, только если их скалярное произведение равно нулю:
$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$

Пример

$\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-2\\3\\4\end{pmatrix}$ $=2\cdot(-2)+1\cdot3+1\cdot4$ $=-4+3+4=3$

Запомни

Следующие правила применяются к скалярному произведению:

Коммутативный закон
$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$

Распределительный закон
$\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}$

$r\cdot(\vec{a}\cdot\vec{b})=(r\cdot\vec{a})\cdot\vec{b}$ ($r\in\mathbb{R}$)