Математика ↠ Процессы роста ↠ Ограниченный рост

Ограниченный рост

Ограниченный рост ограничен естественным барьером. Это означает, что существует лимит (барьер), который ограничивает рост вверх или вниз. Прирост зависит от различия между границей $S$ и текущим размером. Чем больше дистанция между границей и размером, тем выше фактор роста.


Ограниченный рост

В результате мы получаем следующую рекуррентную формулу:

$N(t+1)=N(t)+k\cdot(S-N(t))$

$t...$ период времени
$k ...$ процент разности
$S ...$ барьер
$N(t) ...$ текущий размер
$N(t+1) ...$ дальнейший размер

!

Запомни

С рекуррентным уравнением, последующая величина $N(t+1)$ может быть посчитана с предыдущий величиной $N(t)$.

Например

Стакан 85 ° C чая поставили остывать в комнате с температурой 22 ° C. Чай охлаждается на 15% каждую минуту. Как будет изменяться температура следующие 15 минут?

  1. Вставим границу $S$ и процент $k$


    $S=22$
    $k=15\%=0.15$

    $N(t+1)=N(t)+0.15\cdot(22-N(t))$

  2. Создадим таблицу величин


    $N(0)=85$
    $N(1)=85+0.15\cdot(22-85)$ $=75.55$
    $N(2)=75.55+0.15\cdot(22-75.55)$ $=67.52$
    ...
    $N(15)=27.5$

  3. Нарисуем функцию



    Ограниченный рост

    Через 15 минут, температура чая составит около 27.5 ° C.
    Это ограниченное падение. Температура чая приближается к 22 ° C, но никогда ее не достигнет. 22 ° C это нижняя граница.