Задачи на экстремум

Тип задач, в котором используются различные исчисления - оптимизационные или задачи на экстремум. Задача на экстремум - это своего рода задача оптимизации, но только с одним ограничением. Это может быть как максимизация, так и минимизация.

i

Подсказка

Задачи на экстремум существуют, когда целевой размер (например площадь поверхности, объем, прибыль, ...) должны стать максимумом или минимумом. Это условие является основным условием.
!

Запомни

Решая задачи на экстремум, функция (целевая функция) формируется, исходя из основного условия и ограничения, у которого необходимо выявить экстремумы.
i

Способ

  1. Основное условие
  2. Ограничение
  3. Определение целевой функции
  4. Вычисление экстремумов целевой функции
  5. Вычисление недостающих параметров

Пример

Наибольшая прямоугольная область должна быть ограничена 800 м забором. Вычислите размеры обеих сторон и площадь.

  1. Основное условие

    Площадь прямоугольника следует максимизировать. Поэтому, это основное условие и оно зависит от двух переменных $a$ и $b$.

    $A(a, b)=a\cdot b$
  2. Ограничение

    Нам доступно только 800м забора, что ограничивает область. Это является периметром прямоугольника.

    $P=2a+2b$
    $800=2a+2b$
  3. Устанавливаем целевую функцию

    Чтобы связать оба условия, меняем ограничение на переменную.
    $800=2a+2b\quad|-2b$
    $800-2b=2a\quad|:2$
    $a=\frac{800-2b}2$ $=400-b$

    Теперь ипользуем это в основном условии и мы получаем целевую функцию, которая зависит только от одной переменной.
    $A(a, b)=a\cdot b$
    $A(b)=(400-b)\cdot b$ $=400b-b^2$
  4. Вычисление экстремумов целевой функции

    Теперь мы можем (как и с другими функциями) вычислить экстремумы целевой функции.
    $A(b)=400b-b^2$
    $A'(b)=400-2b$

    $400-2b=0\quad|-400$
    $-2b=-400\quad|:(-2)$
    $b=200$

    Со второй деривацией (производной), еще нужно проверить, является ли результат максимальным, т.к. площадь должна быть максимумом.
    $A''(b)=-2$
    $A''(200)=-2<0$ => Максимум
  5. Вычисление недостающих параметров

    $b=200m$

    Из (преобразованного) ограничения можно вычислить $a$.
    $a=400-b$
    $a=400-200=200m$

    Исходя из основного условия (альтернативно из целевой функции) площадь $A$ можно вычислить.
    $A(a, b)=a\cdot b$
    $A(a, b)=200m\cdot 200m=40.000m^2$