Математика ↠ Правила интегрирования ↠ Интегрирование дробей и корней

Интегрирование дробей и корней

Зачастую вы можете интегрировать дроби и корни, применяя экспоненциальные правила, и затем правила интегрирования.

!

Запомни

Дроби могут быть переписаны в виде степени с отрицательным показателем :
$\frac{1}{a^x}=a^{-x}$

Корни также могут быть записаны в виде степени с рациональным показателем:
$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$
i

Способ

  1. Преобразуйте дробь или корень в степень
  2. Применяются правила интеграции
  3. При необходимости снова запишите степень в виде дроби или корня

Примеры

$\int \frac{1}{x^2}\, \mathrm{d}x$

  1. Преобразуйте дробь в степень

    $\int \frac{1}{x^2}\, \mathrm{d}x=\int x^{-2}\, \mathrm{d}x$

  2. Применяется правило степеней

    $\int x^{-2}\, \mathrm{d}x=\frac{1}{-2+1}x^{-2+1}$ $=-x^{-1}$

  3. Записываем степень в виде дроби

    $\int \frac{1}{x^2}\, \mathrm{d}x=-\frac{1}{x}\color{purple}{+C}$
!

Справка

Исключение: При интегрировании $\frac{1}{x}=x^{-1}$, это правило НЕ применяется потому, что вы не можете использовать правило степеней.

Так что вам следует запомнить этот интеграл:
$\int \frac1x \,\mathrm{d}x=\ln|x|+C$

$\int 3\sqrt{x} \, \mathrm{d}x$

  1. Преобразуйте корень в степень

    (В этом случае, правило постоянного множителя здесь также применяется)
    $\int 3\sqrt{x} \, \mathrm{d}x=3\cdot \int x^\frac12\, \mathrm{d}x$

  2. Применяется правило степеней

    $3\cdot \int x^\frac12 \, \mathrm{d}x=3\cdot\frac{1}{1,5}x^{\frac12+1}$ $=3\cdot\frac{2}{3}x^\frac32$

  3. Переписываем степень

    $\int 3\sqrt{x} \, \mathrm{d}x=2x^\frac32$ $=2\sqrt{x^3}\color{purple}{+C}$