Математика ↠ Относительное положение прямых ↠ Определение точки пересечения

Пересекающиеся прямые

Две прямые могут пересекаться и иметь точку пересечения.

!

Требования

  1. Векторы направления не являются коллинеарными
  2. При приравнивании линейных уравнений, мы получаем определенный результат

Вычисление точек пересечения

Чтобы вычислить точку пересечения, мы следуем схеме приведенной выше. Результат выполнения шага 2 для $r$ или $s$ вставляется в соответствующее линейное уравнение.

Например

$\text{g: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 9 \\ 7 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 9 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix}$

$\text{h: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

  1. Векторы направления не коллинеарны?

    Во-первых, мы исследуем, являются ли векторы направления кратными друг другу (=коллинеарными).

    $\vec{a}=t\cdot\vec{b}$

    $\begin{pmatrix} 9 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix}=t\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

    Вычислите $t$ для каждой строки

    1. $9=t\cdot1$
    2. $8=t\cdot1$
    3. $7=t\cdot2$

    1. $t=9$
    2. $t=8$
    3. $t=3.5$

    $t$ не имеет везде одинакового значения. Таким образом, векторы направления не являются коллинеарными. Поэтому прямые являются, непараллельными и не пересекающимися или имеют точку пересечения.

  2. Приравняйте $g$ и $h$

    Теперь приравняйте линейные уравнения и вычислите $r$ и $s$.

    $\begin{pmatrix} 10 \\ 9 \\ 7 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 9 \\ 8 \\ 7\end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

    Теперь мы создаем систему уравнений и решаем ее.

    1. $10+9r=4+s$
    2. $9+8r=4+s$
    3. $7+7r=6+2s$

    Метод уравнения: приравнять I. и II.

    $4+s=4+s$
    $10+9r=9+8r\quad|-8r$
    $10+r=9\quad|-10$
    $r=-1$

    Вычислите $s$ с помощью, например, I. (для этого вставьте $r=-1$)

    $10+9\cdot(-1)=4+s$
    $1=4+s\quad|-4$
    $s=-3$

    Для проверки подставьте $r=-1$ и $s=-3$ в III.

    $7+7\cdot(-1)=6+2\cdot(-3)$
    $0=0$

    $r=-1$ и $s=-3$ результат всех уравнений
    => прямые пересекаются.

  3. Определение точки пересечения

    для определения точки пересечения подставим $r=-1$ в $g$.

    $\begin{pmatrix} 10 \\ 9 \\ 7 \end{pmatrix} + (-1) \cdot \begin{pmatrix} 9 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

    => Прямые пересекаются в точке $S(1|1|0)$.