Вычисление неопределенных интегралов

Неопределенный интеграл может быть вычислен с помощью фундаментальной теоремы исчисления, путем вставки и вычитания пределов интегрирования $a$ и $b$ в первообразной от $f$:

$\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x$ $= [F(x) + C]_a^b$ $= F(b) - F(a)$

Для того чтобы найти первообразную, нужно освоить, правила интегрирования.

$\int_\color{red}{2}^\color{blue}{3} 3x^2 \, \mathrm{d}x$

Вычислите первообразную
Здесь работает правило степени .
$F(x)=\int 3x^2=x^3$
Вставьте пределы интегрирования в первообразную
Теперь $x$ первообразной, заменяется на пределы интегрирования интеграла.
$F(\color{red}{a})=F(\color{red}{2})=\color{red}{2}^3$
$F(\color{blue}{b})=F(\color{blue}{3})=\color{blue}{3}^3$
Вычислите интеграл
Теперь осталось только подставить в формулу .
$\int_\color{red}{a}^\color{blue}{b} f(x) \, \mathrm{d}x$ $= [F(x) + C]_\color{red}{a}^\color{blue}{b}$ $= F(\color{blue}{b}) - F(\color{red}{a})$

$\int_\color{red}{2}^\color{blue}{3} 3x^2 \, \mathrm{d}x$ $= [x^3]_\color{red}{2}^\color{blue}{3}$ $= \color{blue}{3}^3 - \color{red}{2}^3$ $=27-8$ $=19$