Производная от естественной показательной функции

!

Запомните

Путем применения, правила постоянного показателя для естественной показательной функции, можно сказать:

$f(x)=a\cdot e^x$ с $a\in\mathbb{R}$
$f'(x)=a\cdot e^x$

Нет никакой другой функции, которая обладала бы этим свойством.

Производная от естественной показательной функции

Чтобы вычислить производную от показательной функции, необходимо освоить правила дифференцирования, в частности цепное правило.

Например

$f(x)=e^{x^2-2x}$

  1. Разделите функции на подфункции

    $g(x)=e^x$ и $h(x)=\color{red}{x^2-2x}$

  2. Вычислите производную от подфункций

    Примените это правило дифференцирования
    $g'(x)=\color{blue}{e}^x$ и $h'(x)=\color{green}{2x-2}$

  3. Вставьте

    $f'(x)=\color{blue}{g'}(\color{red}{h(x)})\cdot \color{green}{h'(x)}$

    $f'(x)=\color{blue}{e}^{\color{red}{x^2-2x}}\cdot \color{green}{(2x-2)}$
i

Подсказка

Так как производной от $e^x$ является $e^x$, нужно только вычислить внутреннюю производную при выводе значений показательных функций с основанием e (внешняя функция остается той же):

$f(x)=e^{g(x)}$

$f'(x)=e^{g(x)}\cdot g'(x)$