Эскиз кривой естественной показательной функции

Даже с естественными показательными функциями можно сделать эскиз кривой

!

Запомните

При нуле и вычислении уравнения с помощью $e$, имейте ввиду, что $e$ в любой степени никогда не становится нулем.

$e^{x}>0$ с $x\in\mathbb{R}$

Например

Рассмотрим $f(x)=x\cdot e^x$ по следующим свойствам:

  • Нули
  • Экстремум
  • Точка перегиба

  1. Вычислите производную

    Чтобы вычислить производное, используйте правило продукта.

    $f(x)=x\cdot e^x$

    $f'(x)=x\cdot e^x+e^x$ $=e^x(x+1)$

    $f''(x)=x\cdot e^x+e^x+e^x$ $=e^x(x+2)$

    $f'''(x)=x\cdot e^x+e^x+e^x+e^x$ $=e^x(x+3)$

  2. Нули

    Вычислите нули: сделайте функцию равной нулю

    $f(x)=0$
    $x\cdot e^x=0$

    Произведение нуля:произведение становится нулевым, если один из факторов становится нулевым.

    $e^x>0$ (никогда не может быть нулем!) и
    $x_N=0$

  3. Экстремум

    Вычислите экстремум: Сделайте первую производную равной нулю
    $f'(x)=0$
    $e^x(x+1)=0$

    $e^x>0$ (никогда не может быть нулем!) и
    $x+1=0\quad|-1$
    $x_E=-1$

    используйте предполагаемые точки для экстремумов во втором тесте:

    $f''(-1)=e^{-1}>0$ => минимум

    Вычислите координату у и укажите минимальную:

    $f(-1)$ $=-1\cdot e^{-1}$ $=-e^{-1}$ $\approx-0.37$

    $T(-1|-0.37)$

  4. Точка перегиба

    Вычислите точку перегиба: сделайте вторую производную равной нулю
    $f''(x)=0$
    $e^x(x+2)=0$

    $e^x>0$ (никогда не может быть нулем!) и
    $x+2=0\quad|-2$
    $x_W=-2$

    Вставьте предполагаемую точку на наличие точки перегиба в третьей производной:

    $f'''(-2)=e^{-2}\neq0$ => Точка перегиба

    Вычислите координату у и укажите точку перегиба:

    $f(-2)$ $=-2e^{-2}$ $\approx-0.27$

    $W(-2|-0.27)$