Abstand von Punkt und Gerade
Etwas schwieriger ist die Abstandsberechnung von einem Punkt $P$ zu einer Geraden.
Hier benötigen wir eine Hilfsebene $H$, die orthogonal (rechtwinklig) zur Gerade $g$ ist und den Punkt $P$ enthält.
Den Schnittpunkt der Geraden mit der Hilfsebene bezeichnet man als Lotfußpunkt $F$.
Der Abstand von Lotfußpunkt $F$ zum Punkt $P$ entspricht dem Abstand der Geraden zu dem Punkt und kann einfach berechnet werden.
Vorgehensweise
- Normalengleichung der Hilfsebene H (mit P und Richtungsvektor von g) aufstellen
- Lotfußpunkt F berechnen (Schnittpunkt von Gerade g und Ebene H)
- $d$ entspricht Abstand von P zu F, also $|\vec{PF}|$ (Länge des Vektors)
Beispiel
$P(-1|0|3)$
$\text{g: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
-
Hilfsebene aufstellen
Die Hilfsebene soll den Punkt $P$ enthalten. Das ist deshalb unser Stützpunkt. Als Normalenvektor $\vec{n}$ nehmen wir den Richtungsvektor der Geraden, da die Gerade und Ebene orthogonal zueinander sein sollen.
$\text{H: } (\vec{x} - \vec{a}) \cdot \vec{n}=0$
$\text{H: } (\vec{x} - \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=0$
-
Lotfußpunkt berechnen
Der Lotfußpunkt ist der Schnittpunkt der Geraden $g$ und der Hilfsebene $H$. Zur Berechnung des Schnittpunkts wird die Geradengleichung für $\vec{x}$ in die Ebene eingesetzt.
$\left(\color{red}{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}} - \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\right)$ $\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=0$
$\begin{pmatrix} 2+r \\ 2+r \\ -2 \end{pmatrix}$ $\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=0$
Skalarprodukt berechnen
$(2+r)\cdot1+(2+r)\cdot1$ $+(-2)\cdot0=0$
$4+2r=0\quad|-4$
$2r=-4\quad|:2$
$r=-2$$r$ in $g$ einsetzen, um Lotfußpunkt $F$ zu erhalten
$\vec{OF} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \color{red}{-2} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} 1-2 \\ 2-2 \\ 1-0 \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
$F(-1|0|1)$
-
Abstand der beiden Punkte berechnen
Der Abstand des Lotfußpunktes zum Punkt $P$ ist auch der Abstand der Geraden zu diesem Punkt.
Der Abstand zwischen zwei Punkten lässt sich einfach mit Vektoren berechnen.
$d=|\vec{PF}|$ $=\left| \begin{pmatrix} -1-(-1) \\ 0-0 \\ 1-3 \end{pmatrix}\right|$ $=\left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\right|$ $=\sqrt{(-2)^2}$ $=2$
Der Abstand der Geraden $g$ zum Punkt $P$ beträgt 2 LE.
Abstand Punkt Gerade mit Hilfsebene berechnen, Abstand von Punkt zu Gerade bestimmen, Lotfußpunkt
