Hessesche Normalform

Eine spezielle Art der Normalengleichung ist die Hessesche Normalform (HNF):

$\text{E: } (\vec{x} - \vec{a}) \cdot \vec{n_0}=0$

$\vec{n_0}$ bezeichnet man als Normaleneinheitsvektor. Er hat den Betrag/Länge von 1.

$|\vec{n_0}|=1$

Für den Normaleneinheitsvektor wird der Normalenvektor durch seinen Betrag dividiert.

$\vec{n_0}= \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$

Die hessesche Normalform erhält man also, indem man die Normalengleichung der Ebene durch den Betrag des Normalenvektors teilt.

$\text{E: } (\vec{x} - \vec{a}) \cdot \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}=0$

$\text{E: } \left(\vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}=0$

Betrag des Normalenvektors

$\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$

$|\vec{n}|=\sqrt{2^2+(-2)^2+4^2}$ $=\sqrt{24}$
Normaleneinheitsvektor

$\vec{n_0}= \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$

$\vec{n_0}= \frac{ \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}}{\sqrt{24}}$ $=\frac{1}{\sqrt{24}}\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 2/\sqrt{24} \\ -2/\sqrt{24} \\ 4/\sqrt{24} \end{pmatrix}$
Hessesche Normalform

$\text{E: } (\vec{x} - \vec{a}) \cdot \vec{n_0}=0$

$\text{E: } \left(\vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 2/\sqrt{24} \\ -2/\sqrt{24} \\ 4/\sqrt{24} \end{pmatrix}=0$

Alternativ ist auch folgende Schreibweise möglich:

$\text{E: } \left(\vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{24}}\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}=0$