Berührpunkte

Ein Berührpunkt ist ein gemeinsamer Punkt von zwei Funktionsgraphen, an dem beide Funktionen dieselbe Tangente (gleiche Steigung) besitzen.

Beispiel

Bestimme den Berührpunkt der Funktion $f(x)=x^2$ und $g(x)=-x^2+4x-2$.

1. Ableitungen bilden

   $f(x)=x^2$
   $f'(x)=2x$
   
   $g(x)=-x^2+4x-2$
   $g'(x)=-2x+4$

2. Funktionsgleichungen gleichsetzen

   Erste Bedingung: Beide Funktionen müssen einen gemeinsamen Punkt besitzen.
   $f(x_B)=g(x_B)$
   $x^2=-x^2+4x-2\quad|-x^2$
   $-2x^2+4x-2=0\quad|:(-2)$
   $x^2-2x+1=0$
   
   Es liegt eine quadratische Gleichung vor, die man beispielsweise mit der PQ-Formel lösen kann.
   $x_{B_{1,2}} = -\frac{p}{2} \pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$
   $x_{B_{1,2}} = 1 \pm\sqrt{1-1}$
   $x_B=\color{red}{1}$

3. Steigung überprüfen

   Zweite Bedingung: Beide Funktionen müssen an dem Punkt die gleiche Steigung besitzen.
   $f'(x_B)=g'(x_B)$
   $f'(\color{red}{1})=g'(\color{red}{1})$
   $2\cdot\color{red}{1}=-2\cdot\color{red}{1}+4$
   $2=2$
   => die Funktionen berühren sich an der Stelle $x_B=1$

4. Berührpunkt angeben

   Es soll der BerührPUNKT angegeben werden: Deshalb noch die y-Koordinate mit einer der ursprünglichen Funktionen berechnen.
   
   $f(\color{red}{1})=\color{red}{1}^2=\color{blue}{1}$
   => Berührpunkt: $B(\color{red}{1}|\color{blue}{1})$